Geometria: com es relaciona això amb el cercle de la unitat?

Com es relaciona això amb el cercle de la unitat?

Geometria

  • El cercle de la unitat i la trigonometria
  • La proporció tangent
  • La relació sinusoidal
  • La relació cosinus
  • I la resta
  • Com es relaciona això amb el cercle de la unitat?

Les nostres relacions trigonomètriques es van definir dins dels límits d’un triangle rectangle. Com que les mesures dels angles interiors d’un triangle rectangle sumen 180 i un d’aquests angles té una mesura igual a 90, els altres dos angles d’un triangle rectangle han de ser angles aguts. Així doncs, només podeu trobar les relacions trigonomètriques dels angles aguts. Això és massa limitatiu.



Les relacions sinus, cosinus i tangents es poden definir per a qualsevol angle, no només per a angles aguts. Però, per fer-ho, heu d’incorporar un triangle rectangle en un cercle. Tot i que podeu fer servir qualsevol cercle, les coses funcionaran molt bé si utilitzeu el 'cercle d'unitat'. És possible que us pregunteu què és el cercle unitari i per què hauríeu d’utilitzar aquest cercle en concret. Bé, el cercle unitari és un cercle amb un radi igual a 1. Incorporem un triangle rectangle en un cercle unitari i vegem què passa. Utilitzeu la figura 20.9 com a guia.

Figura 20.9 Un triangle rectangle incrustat al cercle de la unitat.

Cadascun dels vèrtexs del triangle tindrà alguna característica especial, però les cobejades propietats es reparteixen de manera que no es veu que un vèrtex és millor? que qualsevol altre. Mantingueu el vèrtex A al centre del cercle. No es permet moure’s des d’aquest punt. Penseu en el vèrtex A que es troba en un trigonomètric? El vèrtex B està restringit a recolzar-se al cercle. Es pot moure pel cercle i ocupar el lloc que vulgui, però ha de romandre al cercle. L'única propietat agradable que queda és l'angle recte del triangle, de manera que per procés d'eliminació? C és l'angle recte. Hi ha una última restricció. Mantingueu fix el diàmetre de C (en aquest cas, XY) i deixeu que B es mogui al voltant del cercle.

La hipotenusa del triangle té un punt final situat al centre del cercle i l’altre punt final al cercle. Com que esteu treballant amb el cercle unitari, la vostra hipotenusa té la longitud 1. Recordeu que les relacions sinus i cosinus impliquen la longitud de la hipotenusa en el denominador. No es pot tenir un denominador més agradable d’una proporció que 1. És l’avantatge de treballar al cercle de la unitat.

Ara, deixeu que B es mogui al voltant del cercle i incrusti sempre un triangle rectangle deixant caure un segment de línia perpendicular de B a XY. A la figura 20.10, he mostrat quatre ubicacions diferents per a B i els corresponents triangles rectangles incrustats que resulten. Fixeu-vos que l'orientació del triangle rectangle canvia, però la hipotenusa sempre és el segment de línia AB.

Figura 20.10 Quatre triangles rectangles incrustats al cercle unitari, basats en la ubicació del vèrtex B.

Sempre que parleu de 'A', hauríeu de referir-vos sempre a 'BAC', un angle interior del vostre triangle. Les relacions trigonomètriques sempre seran

  • tan? A =a/b, Sense? A =a/c, i cos? A =b/c.

Aquests sempre seran nombres positius, perquè la longitud de qualsevol costat és positiva (pel postulat de la regla). Aquestes relacions es poden simplificar una mica perquè estàs obligat a treballar en el cercle de la unitat:

  • tan? A =a/b, Llavors? A = a, i cos? A = b

Ara que l’escenari està preparat, estic preparat per parlar de les relacions trigonomètriques de qualsevol angle (no només dels angles aguts). Dividiré el cercle en quarts i discutiré els angles que cauen en cada quart d’un en un. Els angles que cauen al primer trimestre són angles aguts, i ja he comentat les relacions trigonomètriques dels angles aguts.

Per al segon trimestre, suposem que teniu un angle obtús ?, tal com es mostra a la figura 20.11. Aleshores, el suplement d’aquest angle obtús és un angle agut. Incrustar un triangle com aquest a la figura 20.10 (b) i definir les relacions trigonomètriques de? basat en les relacions trigonomètriques de? A: sin? = pecat? A, cos? = - cos A, i tan? = - tan? A. Fixeu-vos que la proporció sinusoïdal d’un angle obtús té el mateix valor numèric que la proporció sinus del seu suplement agut, mentre que les relacions cosinus i tangents d’un angle obtús tenen el mateix valor absolut que les relacions cosinus i tangents del seu suplement, però tenen tenir el signe contrari.

Figura 20.11 Un cercle amb un angle central obtús i el triangle incrustat corresponent.

Seguim donant la volta al cercle. El tercer quart inclou angles amb una mesura entre 180 i 270, tal com es mostra a la figura 20.12. Incrusteu un triangle en aquest cercle similar al que es mostra a la figura 20.10 (c) i torneu a definir les relacions trigonomètriques d’aquest tipus d’angles en funció de les relacions trigonomètriques dels angles aguts. Tot el que heu de fer és canviar alguns signes (dos signes, en realitat): pecat? = - pecat? A, cos? = - cos A, i tan? = tan? A. Fixeu-vos que els signes de la relació sinus i cosinus són negatius i que la relació tangent és la positiva.

Figura 20.12 Un cercle amb angle central entre 180 i 270 i el triangle incrustat corresponent.

Un trimestre més i et gradues! Aquest darrer trimestre inclou angles la mesura dels quals es troba entre 270 i 360, tal com es mostra a la figura 20.13. En aquest cas, incrustar un triangle rectangle com ho vau fer a la figura 20.10 (d) i definir les relacions trigonomètriques de l’angle en funció de la relació trigonomètrica del seu angle interior agut corresponent. Una vegada més, es canviaran dos signes: pecat? = - pecat? A, cos? = cos A, i tan? = - tan? A. Aquesta vegada, la relació cosinus es manté positiva, i les relacions sinus i tangent són negatives.

Figura 20.13 Un cercle amb angle central entre 270 i 360 i el triangle incrustat corresponent.

Eureka!

Les relacions trigonomètriques dels angles no aguts tenen la mateixa magnitud que les relacions trigonomètriques dels seus angles aguts corresponents. Dues de les tres proporcions són negatives i una es manté positiva. Mentre gireu el cercle en sentit antihorari, comenceu amb que totes les relacions siguin positives, llavors la proporció SINE es mantindrà positiva, a continuació la proporció TANGENT serà positiva i, finalment, la relació COSINE tindrà el seu torn. Si teniu problemes per recordar quina relació és positiva, hi ha un famós mnemotècnic disponible per ajudar-vos: A ll S tudents T ake C alculus? A ll S altres T angent C osina.

Aquesta és només la punta de l’iceberg trigonomètric. Podria omplir tot un llibre només amb el material comentat en una classe de trigonometria. Començaré amb aquest llibre just després d’acabar-ho.

Aquí teniu la vostra oportunitat de brillar. Recordeu que estic amb vosaltres d’esperit i he proporcionat les respostes a aquestes preguntes a Resposta clau.

  1. Si un triangle rectangle té un angle amb proporció tangent3/5, trobeu la proporció sinusoïdal d'aquest angle.
  2. Si un triangle rectangle té un angle amb una proporció de sinus de1/2, trobeu la proporció tangent d’aquest angle.
  3. Si un triangle rectangle té un angle amb relació cosinus3/7, trobeu les relacions sinus i tangents de l’angle.
  4. Si un triangle rectangle té un angle amb relació sinusoïdal5/9, trobeu les relacions tangents i cosinus de l’angle.

Extret de The Complete Idiot's Guide to Geometry 2004 de Denise Szecsei, Ph.D .. Tots els drets reservats, inclòs el dret de reproducció total o parcial, de qualsevol forma. S'utilitza per acord amb Llibres Alfa , membre de Penguin Group (EUA) Inc.

Per demanar aquest llibre directament a l’editor, visiteu el lloc web de Penguin USA o truqueu al 1-800-253-6476. També podeu comprar aquest llibre a Amazon.com i Barnes & Noble .